9 ano

Escola Pitágorica

Em Crotona, nos arredores estéreis e rudes da ponta de Itália, Pitágoras fundou uma sociedade secreta dedicada ao estudo dos números. Julga-se que esta sociedade, cujos membros se tornaram conhecidos como pitagóricos, desenvolveu uma parte significativa de conhecimento matemático e isso em segredo absoluto. Pode considerar-se que os pitagóricos eram uma ordem religiosa e uma escola filosófica. Pensa-se que a sua filosofia se baseava no lema "O número é tudo", isto é o "número era a substância de todas as coisas".

O que pretendiam afirmar era que não só todos os objectos conhecidos tinham um número, ou podiam ser ordenados e contados, mas também que os números eram a base de todos os fenómenos físicos. Por exemplo uma constelação no céu podia ser caracterizada não só pela sua forma geométrica como também pelo número de estrelas que a compunham, bem como ela própria podia ser a representação de um número.

Qualquer figura geométrica, assim como qualquer corpo físico era, supunham, constituído por um determinado número de átomos ou mónodas, número esse que poderia ser muito grande, mas finito. A mónada era a unidade material, uma "unidade dotada de posição", muito pequena, mas com uma certa extensão: era um "ponto extenso".

Adoravam os números e acreditavam que eles tinham propriedades mágicas. Um número interessante foi o número "perfeito", que é a soma dos seus factores multiplicativos.

As preocupações dos pitagóricos com os números faziam parte do espírito de uma religião, e o seu modo de vida ascético e o facto de serem vegetarianos tinha origens em crenças religiosas. Um aspecto importante da vida dos pitagóricos, com regras dietéticas, adoração de números e reuniões secretas e rituais, era a realização de estudos matemáticos e filosóficos como uma base moral.

Os pitagóricos acreditavam firmemente que a essência de tudo, quer na geometria, quer nas questões práticas e teóricas da vida do homem, podia ser explicada em termos de arithmos, isto é, através das propriedades intrínsecas dos números inteiros ou das suas razões. Os números estavam sempre ligados à contagem de coisas. Ora a contagem requer que a unidade individual permaneça a mesma e portanto a unidade nunca podia ser dividida. Por causa de considerarem o número como a base do Universo, todas as coisas podiam ser contadas, incluindo os comprimentos. Para contar um comprimento era necessária uma medida e os pitagóricos assumiram que podiam sempre encontrar uma unidade de medida.

Assim que uma medida fosse achada num problema particular, tornar-se-ia a unidade e não podia ser dividida.

Entendiam o que hoje chamamos de racionais como a razão ou quociente de números naturais. Se o segmento [AB] tivesse m mónadas e o segmento unitário tivesse n mónadas, a medida do primeiro relativamente ao segundo seria m/n (e esta fracção podia ser redutível e até representar um número inteiro).

Os números racionais serviram também aos pitagóricos para interpretar problemas do domínio da Música, uma das quatro disciplinas fundamentais (as outras três eram a Geometria, a Aritmética e a Astronomia.

Os pitagóricos descobriram que a harmonia na música correspondia a razões simples entre números. De acordo com Aristóteles, os pitagóricos pensavam que todo o céu era composto por escalas musicais e números. A harmonia musical e os desenhos geométricos levaram os pitagóricos a acreditar que tudo se resumia a números. Os pitagóricos pensavam que as razões numéricas básicas da música envolviam apenas os números 1, 2, 3 e 4, cuja soma é 10. E 10, por sua vez, é a base do nosso sistema de numeração. Representavam o número 10 como um triângulo, ao qual chamaram tetraktys.

O símbolo especial da ordem pitagórica era a estrela de cinco vértices inscrita num pentágono. As diagonais que formam a estrela intersectam-se de tal maneira que formam outro pentágono, mais pequeno, na direcção inversa. Se as diagonais dentro deste pentágono mais pequeno forem desenhadas, formarão ainda outro pentágono, e assim sucessivamente. Este pentágono e a estrela nele inscrita composta por diagonais têm propriedades fascinantes, que os pitagóricos pensavam ser místicas. Um ponto diagonal (intersecção de duas diagonais) divide uma diagonal em duas partes diferentes. A razão entre a totalidade da diagonal e o segmento maior é exactamente igual à razão entre o segmento maior e o segmento menor. Esta razão é designada por número de ouro.

Os pitagóricos falharam em reconhecer a distinção fundamental entre número e medida, ou entre a indivisibilidade da unidade para os números e a indivisibilidade das medidas como comprimentos e isso foi muito perturbador. E assim surgiu um problema: as propriedades dos inteiros e das suas razões não bastavam para comparar a diagonal de um quadrado com o seu lado. Os segmentos do lado e da diagonal são incomensuráveis, não importa quão pequena se torne a unidade de medida, isto é o lado e a diagonal não tinham uma medida comum.

O Teorema de Pitágoras, conhecido há séculos e cuja demonstração entrou na tradição como uma das jóias produzidas pela Escola Pitagórica, tornou-se de forma irónica, uma contribuição para o desmoronamento da teoria das mónodas.